Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости

Пусть $\sigma: Ax + By + Cz + D = 0$, прямая $l: \begin{cases} x = x_{0} + qt \\ y = y_{0} + rt \\ z = z_{0} + st \end{cases}$, тогда: 1) $l$ и $\sigma$ пересекаются $\iff$ $$Aq + Br + Cs \neq 0$$ 2) $l$ и $\sigma$ параллельны $\iff$ $$\begin{cases} Aq + Br + Cs = 0 \\ Ax_{0} + By_{0} + Cz_{0} + D \neq 0 \end{cases}$$ 3) $l \subset \sigma \iff$ $$\begin{cases} Aq + Br + Cs = 0 \\ Ax_{0} + By_{0} + Cz_{0} + D = 0 \end{cases}$$

$\Large{\impliedby}$ Подставим $x_{0}+qt, y_{0}+rt, z_{0}+st$ в уравнение плоскости: $$A(x_{0} + qt) + B(y_{0} + rt) + C(z_{0} + st) + D = 0 ~~~~~(*)$$ Если $M(x, y, z) \in l,\sigma$, то значение $t$ - решение уравнения $(*)$. А значит: 1) $l$ и $\sigma$ пересекаются $\iff$ единственное решение 2) $l$ и $\sigma$ параллельны $\iff$ решений нет 3) $l \subset \sigma \iff$ бесконечно много решений Перепишем уравнение $(*)$ в другом виде: $$(Aq + Br + Cs)t + (Ax_{0} + By_{0} + Cz_{0} + D) = 0$$ Из уравнения следуют достаточные условия, которые необходимо доказать. $\Large{\implies}$ Доказывается аналогично предыдущим похожим теоремам за счёт аргумента о взаимоисключающих случаях.

Пусть: $$l_{1}: \begin{cases} x = x_{1} + q_{1}t \\ y = y_{1} + r_{1}t \\ z = z_{1} + s_{1}t \end{cases},~~~~ l_{2}: \begin{cases} x = x_{2} + q_{2}t \\ y = y_{2} + r_{2}t \\ z = z_{2} + s_{2}t \end{cases},~~~~ \Delta = \begin{vmatrix} x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\ q_{1} & r_{1} & s_{1} \\ q_{2} & r_{2} & s_{2} \end{vmatrix}$$ Тогда прямые $l_{1}$ и $l_{2}$: 1) скрещиваются $\iff \Delta \neq 0$ 2) пересекаются $\iff$ $$\Delta = 0 \land \left[ \begin{array} \\ \dfrac{q_{1}}{q_{2}} \neq \dfrac{r_{1}}{r_{2}} \\ \dfrac{r_{1}}{r_{2}} \neq \dfrac{s_{1}}{s_{2}} \end{array} \right.$$ 3) параллельны $\iff$ $$\begin{cases} \Delta = 0 \\ \dfrac{q_{1}}{q_{2}} = \dfrac{r_{1}}{r_{2}} = \dfrac{s_{1}}{s_{2}} \end{cases}~~~ \land~~~ \left[ \begin{array} \\ \dfrac{x_{2}-x_{1}}{q_{1}} \neq \dfrac{y_{2}-y_{1}}{r_{1}} \\ \dfrac{y_{2}-y_{1}}{r_{1}} \neq \dfrac{z_{2}-z_{1}}{s_{1}} \end{array} \right.$$ 4) совпадают $\iff$ $$\begin{cases} \Delta = 0 \\ \dfrac{q_{1}}{q_{2}} = \dfrac{r_{1}}{r_{2}} = \dfrac{s_{1}}{s_{2}} \\ \dfrac{x_{2}-x_{1}}{q_{1}} = \dfrac{y_{2}-y_{1}}{r_{1}} = \dfrac{z_{2}-z_{1}}{s_{1}} \end{cases}$$

$\Large{\impliedby}$ Пусть $\vec{a_{1}} = (q_{1}, r_{1}, s_{1})$ - направляющий $l_{1}$, $\vec{a_{2}} = (q_{2}, r_{2}, s_{2})$ - направляющий $l_{2}$, $M_{1}(x_{1}, y_{1}, z_{1}) \in l_{1}$, $M_{2}(x_{2}, y_{2}, z_{2}) \in l_{2}$, $\vec{c} = \overrightarrow{M_{1}M_{2}} = (x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}, z_{2} - z_{1})$. Ясно, что $l_{1}$ и $l_{2}$ лежат в одной плоскости $\iff \vec{c}, \vec{a_{1}}, \vec{a_{2}}$ компланарны. Утверждение 1) вытекает теперь из замечания о координатах компланарных векторов. Предположим, что прямые лежат в одной плоскости, значит $\Delta = 0$. Ясно, что при выполнении этого условия прямые пересекаются $\iff \vec{a_{1}} \nparallel \vec{a_{2}}$. Учитывая критерий коллинеарности векторов, получаем утверждение 2) Пусть $\vec{a_{1}} \parallel \vec{a_{2}}$. В этом случае прямые либо параллельны, либо совпадают. Чтобы разделить эти два случая достаточно проверить, лежит ли точка $M_{2}$ на прямой $l_{1}$, используя канонические уравнения прямой $l_{1}: \dfrac{x-x_{1}}{q_{1}} = \dfrac{y-y_{1}}{r_{1}} = \dfrac{z-z_{1}}{s_{1}}$. Получаем утверждения 3) и 4). $\Large{\implies}$ Доказывается аналогично предыдущим похожим теоремам за счёт аргумента о взаимоисключающих случаях. $\square$